Bonjour BouBoul
Si ton scooter démarre par shunt relai, c'est déja une bonne chose, cette astuce est bien utile parfois (comme décrit dans cet article Dépannage de batterie).
Il faut savoir que l'alimentation du circuit d'allumage et indépendant du circuit de charge et éclairage et annexes.
Il y a une bobine spécifique dans l'alternateur, qui fournit du courant au CDI et bobine HT.
Par contre ton problème pourrait plutôt venir par exemple du régulateur, de la batterie, mauvaise masse...

Si tu as un voltmètre, fais déjà ces tests, j'ai en gros le même scooter que toi, voic mes relevés normaux :

• Moteur à l'arrêt Batterie seule chargée  = 13.05 volts environ
• Au ralentit 1500 t/mn, sans rien d'allumé = 14.6 à 14.75 volts environ aux bornes de la batterie.
• En accélérant un peu ça monte jusqu'a environ 14.9 volts chez moi.

Si moteur tournant tu as le même voltage (ou plus bas) qu'a l'arrét, il faut revoir ton circuit et notamment le régulateur.
Pense aussi au contacteur à clé (qui pourrait faire mauvais contact), comme dit JoJo, j'ai déja eu ce pb une fois :(

NB : Le fusible n'est pas indispensable pour que ça marche, mais là pour faire protection en cas de surcharge. Et donc il est vicement conseillé d'en remettre un (15A c'est OK sur mon scooter).
L'horloge (et la daube d'alarme, qui tue les batteries) sont sur un plus permanent et c'est pourquoi elle marche...
Même si le reste ne marche pas, par exemple si pb pour le contact circuit éclairage avec le Neimann.

Ci-joint divers doc. pour t'aider dans tes recherches ;-)

En vous remerciant de votre lecture, et
Bonne route…

  Spiral